El Hotel Infinito es una construcción abstracta que interviene en varias metáforas inventadas por el matemático alemán David Hilbert (1862-1943). Esta metáfora explica, de manera simple e intuitiva, hechos paradójicos relacionados con el concepto matemático de infinito.
Marttin Gardner, conocido investigador y divulgador matemático nos propone, que ningún conjunto finito puede ponerse en correspondencia biunívoca con ninguno de sus subconjuntos propios, quiere decir que el todo es mayor que cualquiera de sus partes (lo que nos dicta el sentido común).
Justo lo contrario es lo que demuestra esta paradoja matemática; los conjuntos infinitos se caracterizan precisamente por su correspondencia biunívoca con algunos de sus subconjuntos propios, es decir, el todo no tiene por que ser mayor que cualquiera de sus subconjuntos.
Como decíamos, todo se reduce a un usual problema en hostelería propio de la temporada alta.
Pues sucede que estando todas las habitaciones ocupadas un día llegó el piloto de una nave mercante, solicitando alojamiento al "Hotel del Infinito" . A pesar de no disponer de alojamiento, puesto que el hotel del infinito tenía infinitas habitaciones, lo que hizo el gerente fue trasladar al ocupante de cada habitación a la del número siguiente. Así, la habitación número uno quedó libre para el piloto.
En esa madrugada un grupo de cinco parejas llegó con el obvio transtorno para las operaciones de rutina del hotel. ¿Podría darles alojamiento a esas personas ?. Claro que sí. Puesto que era el "Hotel del Infinito" trasladó a todos sus inquilinos 5 habitaciones, es decir, al de la 1 le realojaron en la 6; de esta manera las cinco parejas a pesar de las molestias quedaron atendidas (ocuparon las habitaciones desde la 1 hasta la 5).
La semana siguiente fue mucho peor. A la hora de almorzar llegó un grupo infinito de representantes de "Bienes Corp" para su congreso anual. En la recepción el revuelo era grande, en el "Hotel del Infinito" podían pretender atender a cualquier grupo finito de clientes, pero ¿cómo dar alojamiento a un grupo infinito de clientes ?
De la aguda mente matemática del gerente surgió la solución. Hizo mudarse a cada inquilino a una habitación de número doble del que tenía (1 al 2 ; 2 al 4 ; 3 al 6 ; y así sucesivamente) de esta manera todos quedaban alojados, los clientes antiguos ocuparon las habitaciones pares y los recién llegados ocuparon las habitaciones impares de aquel hotel, y las impares son infinitas, al igual que las pares.
El conjunto de los números naturales infinitos se coordina con uno de sus subconjuntos propios (las habitaciones impares).
La última maniobra de malabarismo hosteleril del gerente hizo aparecer un número infinito de habitaciones, mostrando como al restar infinitos de infinitos quedan infinitos todavía (argumento que se constituye en indeterminación matemática).
Alberto Rodríguez - Revista Epsilones.